Question

已知雙曲線的方程為, 直線通過其右焦點F₂，且與雙曲線的右支交于A、B兩點，將A、B與雙曲線的左焦點F₁連結起來，求|F₁A|·|F₁B|的最小值

Answer 1

設A(x₁,y₁),B(x₂,y₂)，A到雙曲線的左準線x= ─= ─的距離

d=|x₁+|=x₁+，由雙曲線的定義，=e=,∴|AF₁|=(x₁+)=x₁+2,

同理，|BF₁|=x₂+2,∴|F₁A|·|F₁B|=(x₁+2)(x₂+2)=x₁x₂+(x₁+x₂)+4    (1)

雙曲線的右焦點為F₂(,0),

(1)當直線的斜率存在時設直線AB的方程為：y=k(x─)，

由消去y得  (1─4k²)x²+8k²x─20k²─4=0,

∴x₁+x₂=,  x₁x₂= ─, 代入(1)整理得

|F₁A|·|F₁B|=+4=+4=+4=+

∴|F₁A|·|F₁B|>;

(2)當直線AB垂直于x軸時，容易算出|AF₂|=|BF₂|=,

∴|AF₁|=|BF₁|=2a+=(雙曲線的第一定義), ∴|F₁A|·|F₁B|=

由(1), (2)得：當直線AB垂直于x軸時|F₁A|·|F₁B|  取最大值

解析:

點撥與提示：由雙曲線的定義得：|AF₁|=(x₁+)=x₁+2，|BF₁|=x₂+2,

|F₁A|·|F₁B|=(x₁+2)(x₂+2)=x₁x₂+(x₁+x₂)+4 ，將直線方程和雙曲線的方程聯立消元，得x₁+x₂=,  x₁x₂= ─.本題要注意斜率不存在的情況.