Question

已知橢圓C：的離心率為，且經過點M（-2，0）．
（Ⅰ）求橢圓C的標準方程；
（Ⅱ）設直線l：y=kx+m與橢圓C相交于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）兩點，連接MA，MB并延長交直線x=4于P，Q兩點，設y_P，y_Q分別為點P，Q的縱坐標，且．求證：直線l過定點．

Answer 1

（Ⅰ）解：∵橢圓C：的離心率為，且經過點M（-2，0）．
∴a=2，，∴． …（2分）
∵a²=b²+c²，∴． …（3分）
橢圓方程為． …（5分）
（Ⅱ）證明：消y得 （2k²+1）x²+4kmx+2m²-4=0，△＞0． …（6分）
因為A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），所以，． …（7分）
設直線MA：，則；同理…（9分）
因為 ，所以 ，即． …（10分）
所以 （x₁-4）y₂+（x₂-4）y₁=0，
所以 （x₁-4）（kx₂+m）+（x₂-4）（kx₁+m）=0，2kx₁x₂+m（x₁+x₂）-4k（x₁+x₂）-8m=0，所以，
所以 ，得 m=-k． …（13分）
則y=kx-k，故l過定點（1，0）． …（14分）
分析：（Ⅰ）利用橢圓C：的離心率為，且經過點M（-2，0），可求橢圓的幾何量，從而可求
橢圓方程；
（Ⅱ）直線方程與橢圓方程聯立，利用 ，及韋達定理，可得y=kx-k，故直線l過定點．
點評：本題考查橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關系，考查直線過定點，正確運用韋達定理是關鍵．