Question

如圖，在四棱錐P-ABCD中，E為PC的中點．，側面PAD是等邊三角形，底面ABCD是梯形，且AB∥CD，CD=2AB．
（1）證明：直線BE∥平面PAD；
（2）求異面直線AD和BE所成的角．

Answer 1

【答案】分析：（1）取PD中點F，連結EF、AF，利用三角形中位線定理及梯形梯形ABCD中，AB∥CD且，證出四邊形ABEF為平行四邊形，BE∥AF，結合線面平行的判定定理即可得到BE∥平面PAD；
（2）根據異面直線所成角的定義，得∠FAD就是異面直線AD與BE的所成角．由AF是正△PAD的中線得到∠FAD=30°，從而得到異面直線AD與BE的所成角為30°．
解答：解：（1）取PD中點F，連結EF、AF，
∵EF是△PCD的中位線，可得EF∥CD，且…（2分）
又∵梯形ABCD中，AB∥CD，且
∴EF∥AB且EF=AB，可得四邊形ABEF為平行四邊形，
∴BE∥AF，…（4分）
∵BE?平面PAD，AF?平面PAD，∴BE∥平面PAD；…（6分）
（2）由（1）可知BE∥AF，
∴∠FAD就是異面直線AD與BE的所成角，…（ 10分）
∵△PAD是正三角形，且AF是中線，∴∠FAD=30°，
即異面直線AD與BE的所成角為30°…（12分）
點評：本題在四棱錐中求證線面平行，并求異面直線所成的角大小，著重考查了線面平行的判定定理與異面直線所成角的定義及求法等知識，屬于中檔題．