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如圖,在四棱錐P-ABCD中,E為PC的中點.,側面PAD是等邊三角形,底面ABCD是梯形,且AB∥CD,CD=2AB.
(1)證明:直線BE∥平面PAD;
(2)求異面直線AD和BE所成的角.

【答案】分析:(1)取PD中點F,連結EF、AF,利用三角形中位線定理及梯形梯形ABCD中,AB∥CD且,證出四邊形ABEF為平行四邊形,BE∥AF,結合線面平行的判定定理即可得到BE∥平面PAD;
(2)根據異面直線所成角的定義,得∠FAD就是異面直線AD與BE的所成角.由AF是正△PAD的中線得到∠FAD=30°,從而得到異面直線AD與BE的所成角為30°.
解答:解:(1)取PD中點F,連結EF、AF,
∵EF是△PCD的中位線,可得EF∥CD,且…(2分)
又∵梯形ABCD中,AB∥CD,且
∴EF∥AB且EF=AB,可得四邊形ABEF為平行四邊形,
∴BE∥AF,…(4分)
∵BE?平面PAD,AF?平面PAD,∴BE∥平面PAD;…(6分)
(2)由(1)可知BE∥AF,
∴∠FAD就是異面直線AD與BE的所成角,…( 10分)
∵△PAD是正三角形,且AF是中線,∴∠FAD=30°,
即異面直線AD與BE的所成角為30°…(12分)
點評:本題在四棱錐中求證線面平行,并求異面直線所成的角大小,著重考查了線面平行的判定定理與異面直線所成角的定義及求法等知識,屬于中檔題.
練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源: 題型:

精英家教網如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是矩形.已知AB=3,AD=2,PA=2,PD=2
2
,∠PAB=60°.
(1)證明AD⊥PB;
(2)求二面角P-BD-A的正切值大小.

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥平面ABCD,四邊形ABCD為正方形,AB=4,PA=3,點A在PD上的射影為點G,點E在AB上,平面PEC⊥平面PDC.
(1)求證:AG∥平面PEC;
(2)求AE的長;
(3)求二面角E-PC-A的正弦值.

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,PA⊥底面ABCD,∠BCD=120°,BC⊥AB,CD⊥AD,BC=CD=PA=a,
(Ⅰ)求證:平面PBD⊥平面PAC.
(Ⅱ)求四棱錐P-ABCD的體積V.

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科目:高中數學 來源: 題型:

如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面是邊長為a的菱形,∠ABC=60°PD⊥面ABCD,PC=a,E為PB中點
(1)求證;平面ACE⊥面ABCD;
(2)求三棱錐P-EDC的體積.

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科目:高中數學 來源: 題型:

(2008•武漢模擬)如圖,在四棱錐P-ABCD中,底面ABCD是直角梯形,BC∥AD,且∠BAD=90°,又PA⊥底面ABCD,BC=AB=PA=1,AD=2.
(1)求二面角P-CD-A的平面角正切值,
(2)求A到面PCD的距離.

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