Question

      (本題滿分12分)設橢圓C:(a〉b>0)的左焦點為，橢圓過點P（）

(1) 求橢圓C的方程；

(2) 已知點D(l,0),直線l:與橢圓C交于A、B兩點，以DA和DB為鄰邊的四邊形是菱形，求k的取值范圍.

Answer 1

解 （1）由題意知，b² = a²－3，由 得 2a⁴－11a² + 12 = 0，

所以（a²－4）（2a²－3）= 0，得 a² = 4或（舍去），

因此橢圓C的方程為．                                                    ……… 4分

（2）由 得 ．

所以4k² + 1＞0，，

得 4k² + 1＞m²．                ①                               6分

設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點為M（x₀，y₀），則，，

于是 ，，．

設菱形一條對角線的方程為，則有 x =－ky + 1．

將點M的坐標代入，得 ，所以．     ②

 ……………… 9分

將②代入①，得，

所以9k²＞4k² + 1，解得 k∈．                      … 12分

法2   

．直線l的方向向量為（1，k），則由菱形對角線互相垂直得，即，－3km = 4k² + 1，， 代入①即得．

法3   設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），AB中點為M（x₀，y₀），

則，，于是，兩式相減可得 ，即 x₀ + 4ky₀ = 0．       ①                因為 QD⊥AB，所以

．                          ②

由①②可解得 ，，表明點M的軌跡為線段（）．

當，k∈（，+∞）；當，k∈（－∞,）．

綜上，k的取值范圍是k∈．