Question

15．對于函數f（x）和實數M，若存在m，n∈N^*，使f（m）+f（m+1）+f（m+2）+…+f（m+n）=M成立，則稱（m，n）為函數f（x）關于M的一個“生長點”．若（1，2）為函數$f（x）=cos（{\frac{π}{2}x+\frac{π}{3}}）$關于M的一個“生長點”，則M=-$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 由（1，2）為函數$f（x）=cos（{\frac{π}{2}x+\frac{π}{3}}）$關于M的一個“生長點”，得到M=cos（$\frac{π}{2}+\frac{π}{3}$）+cos（$π+\frac{π}{3}$）+cos（$\frac{3π}{2}+\frac{π}{3}$），由此利用誘導公式能求出結果．

解答 解：∵（1，2）為函數$f（x）=cos（{\frac{π}{2}x+\frac{π}{3}}）$關于M的一個“生長點”，
∴M=f（1）+f（1+1）+f（1+2）
=cos（$\frac{π}{2}+\frac{π}{3}$）+cos（$π+\frac{π}{3}$）+cos（$\frac{3π}{2}+\frac{π}{3}$）
=-sin$\frac{π}{3}$-cos$\frac{π}{3}$+sin$\frac{π}{3}$
=-cos$\frac{π}{3}$=-$\frac{1}{2}$．
故答案為：-$\frac{1}{2}$．

點評 本題考查函數值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意函數性質、誘導公式的合理運用．