Question

（理）已知定義在R上的函數y=f（x）對任意的x都滿足f（x+2）=-f（x），當-1≤x＜1時，f（x）=x³，若函數g（x）=f（x）=log_a|x|只有4個零點，則a取值范圍是

 

．

Answer 1

分析：易求y=f（x）是以4為周期的函數，利用-1≤x＜1時，f（x）=x³，分當1≤x＜3時的解析式，在同一坐標系中，作出y=f（x）與g（x）=log_a|x|的圖象，解相應的不等式組即可．

解答：解：∵f（x+2）=-f（x），
∴f（x+4）=-f（x+2）=f（x），
∴函數y=f（x）是以4為周期的函數，
又當-1≤x＜1時，f（x）=x³，
∴當1≤x＜3時，-1≤x-2＜1，
∴f（x）=-f（x-2）=-（x-2）³；
∵g（-x）=log_a|-x|=log_a|x|=g（x），
∴g（x）=log_a|x|為偶函數，

又g（x）=f（x）=log_a|x|只有4個零點，
∴當a＞1時，log_a3＜1＜log_a5，如圖，解得3＜a＜5；
當0＜a＜1時，log_a5＜-1＜log_a3＜0，同理解得

1

5

＜a＜

1

3

；
∴實數a的取值范圍是（3，5）∪（

1

5

，

1

3

）．
故答案為：（3，5）∪（

1

5

，

1

3

）．

點評：本題考查抽象函數及其應用，著重考查函數的周期性與奇偶性，考查作圖能力與運算能力，屬于難題．