Question

有n個首項為1的等差數列，設第m個數列的k項為a_mk（m，k=1，2，3，…，n，n≥3），公差為d_m，并且a_1n，a_2n，a_3n，…，a_nn成等差數列．
（1）當d₃=2時，求a₃₂，a₃₃，a₃₄以及a_3n；
（2）證明d_m=p₁d₁+p₂d₂（3≤m≤n，p₁，p₂是m的多項式），并求p₁+p₂的值；
（3）當d₁=1，d₂=3時，將數列{d_m}分組如下：（d₁），（d₂，d₃，d₄），（d₅，d₆，d₇，d₈，d₉），…（每組數的個數構成等差數列），設前m組中所有數之和為（c_m）⁴，（c_m＞0），求數列{2cm，dm}的前n項和S_n．

Answer 1

分析：（1）當d₃=2時，由題意可知，a₃₁=1，代入等差數列的通項公式可求
（2）先根據首項和公差寫出數列的通項公式，利用通項公式表示出數列a_1n，a_2n，a_3n，…，a_nn中的第1項減第2項，第3項減第4項，…，第n項減第n-1項，由此數列也為等差數列得到表示出的差都相等，進而得到d_n是首項d₁，公差為d₂-d₁的等差數列，根據等差數列的通項公式表示出d_m的通項，令p₁=2-m，p₂=m-1求出p₁+p₂即可；
（3）由d₁=1，d₂=3，代入可確定出d_m的通項，根據題意的分組規律，得到第m組中有2m-1個奇數，所以第1組到第m組共有從1加到2m-1個奇數，利用等差數列的前n項和公式表示出和，從而表示出前m²個奇數的和，又前m組中所有數之和為（c_m）⁴（c_m＞0），即可得到c_m=m，從而可確定出數列 {2cmdm}的通項公式，利用錯位相減可求和

解答：解：（1）當d₃=2時，由題意可知a₃₁=1
∴a₃₂=a₃₁+d₃=3，a₃₃=a₃₁+2d₃=5，a₃₄=a₃₁+3d=7a₃₁
a_3n=a₃₁+（n-1）d₃=2n-1
（2）由題意知，：（Ⅰ）由題意知a_mn=1+（n-1）d_m．
則a_2n-a_1n=[1+（n-1）d₂]-[1+（n-1）d₁]=（n-1）（d₂-d₁），
同理，a_3n-a_2n=（n-1）（d₃-d₂），a_4n-a_3n=（n-1）（d₄-d₃），…，a_nn-a_（n-1）n=（n-1）（d_n-d_n-1）．
又因為a_1n，a_2n，a_3n，，a_nn成等差數列，所以a_2n-a_1n=a_3n-a_2n=…=a_nn-a_（n-1）n．
故d₂-d₁=d₃-d₂=…=d_n-d_n-1，即d_n是公差為d₂-d₁的等差數列．
所以，d_m=d₁+（m-1）（d₂-d₁）=（2-m）d₁+（m-1）d₂．
令p₁=2-m，p₂=m-1，則d_m=p₁d₁+p₂d₂，此時p₁+p₂=1．
（3）當d₁=1，d₂=3時，d_m=2m-1（m∈N^*）．
數列d_m分組如下：（d₁），（d₂，d₃，d₄），（d₅，d₆，d₇，d₈，d₉），．
按分組規律，第m組中有2m-1個奇數，
所以第1組到第m組共有1+3+5+…+（2m-1）=m²個奇數．
注意到前k個奇數的和為1+3+5+…+（2k-1）=k²，
所以前m²個奇數的和為（m²）²=m⁴．
即前m組中所有數之和為m⁴，所以（c_m）⁴=m⁴．
因為c_m＞0，所以c_m=m，從而 2cmdm=(2m-1)•2m(m∈N*)．
所以S_n=1•2+3•2²+5•2³+7•2⁴+…+（2n-3）•2^n-1+（2n-1）•2ⁿ．①
2S_n=1•2²+3•2³+5•2⁴+…+（2n-3）•2ⁿ+（2n-1）•2ⁿ⁺¹．②
②-①得：S_n=-2-2（2²+2³+…+2ⁿ）+（2n-1）•2ⁿ⁺¹
=-2-2•

4(1-2n-1)

1-2

+(2n-1)•2n+1
=（2n-3）2ⁿ⁺¹+6．

點評：本題考查學生靈活運用等差數列的通項公式及前n項和公式化簡求值，會利用錯位相減的方法求數列的通項公式，考查了利用函數的思想解決實際問題的能力，是一道難題．