Question

當n∈N^*時，定義函數N（n）表示n的最大奇因數．如N（1）=1，N（2）=1，N（3）=3，N（4）=1，N（5）=5，N（10）=5，記
S（n）=N（1）+N（2）+N（3）+…N（2ⁿ）（n∈N），則S（n）=

 

．

Answer 1

分析：由題意當n∈N^*時，定義函數N（n）表示n的最大奇因數，利用此定義有知道：N（1）=1，N（2）=1，N（3）=3，N（4）=1，N（5）=5，N（6）=3，N（7）=7，N（8）=1，N（9）=9，N（10）=5，…從寫出的這些項及S（n）=N（1）+N（2）+N（3）+…N（2ⁿ）利用累加法即可求得．

解答：解：因為當n∈N^*時，定義函數N（n）表示n的最大奇因數，利用此定義有知道：N（1）=1，N（2）=1，N（3）=3，N（4）=1，N（5）=5，N（6）=3，N（7）=7，N（8）=1，N（9）=9，N（10）=5，…，N（所以S_n=N（1）+N（2）+N（3）+N（4）+…+N（2ⁿ），
而S₂-S₁=N（3）+N（4）=4，
S₃-S₂=N（5）+N（6）+N（7）+N（8）=16，
 S₄-S₃=64，
…
S_n-S_n-1=N（2^n-1+1）+N（2^n-1+2）+…+N（2^n-1+2^n-1）=4^n-1．
以上各式相加得：Sn-S1=

4(1-4n-1)

1-4

，而S₁=N（1）+N（2）=2，代入得到：Sn=

4n+2

3

．

點評：此題重點考查了學生對于新定義的準確理解，另外找準要求的和式具體的數據，有觀察分析要求的和式的特點選擇累加求和，并計算中需用等比數列的求和公式，累加法注意寫出的式子必須是減號且出現前后可以抵消的式子才可用此方法，重點是了學生的理解能力及計算能力．