Question

（2012•汕頭一模）如果△ABC不是直角三角形，且A、B、C是△ABC的三個內角：
（1）求證：tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC
（2）如果sinA=

4

5

，cosB=

12

13

，求cosC．

Answer 1

分析：（1）利用和角的正切公式，結合三角形的內角和，即可證得結論；
（2）先求出cosA，再利用和角的余弦公式，即可求得cosC．

解答：（1）證明：由題意知：A≠

π

2

，B≠

π

2

，C≠

π

2

，且A+B+C=π
∴tan（A+B）=tan（π-C）=-tanC…．…（1分）
又∵tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanAtanB

…．…（2分）
∴tanA+tanB=tan（A+B）（1-tanAtanB）=-tanC（1-tanAtanB）=-tanC+tanAtanBtanC…．…（4分）
即tanA+tanB+tanC=tanAtanBtanC…．…（5分）
（2）解：由cosB=

12

13

＞0知道：B∈(0，

π

2

)，
∵sin²B+cos²B=1，∴sinB=

5

13

…．…（6分）
而sinA＞sinB，∴A＞B
①當A∈（0，

π

2

）時，cosA=

3

5

…（7分）
∴cosC=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB=

4

5

×

5

13

-

3

5

×

2

13

=-

16

65

…．…（9分）
②當A∈（

π

2

，π）時，cosA=-

3

5

…．…（10分）
∴cosC=-cos（A+B）=sinAsinB-cosAcosB=

4

5

×

5

13

-(-

3

5

)×

2

13

=

56

65

…（12分）

點評：本題考查和角的正切公式與余弦公式，考查分類討論的數學思想，考查學生的計算能力，正確運用公式是關鍵，屬于中檔題．