Question

某電視臺舉辦的闖關節目共有五關，只有通過五關才能獲得獎金，規定前三關若有失敗即結束，后兩關若有失敗再給一次從失敗的關開始繼續向前闖的機會．已知某人前三關每關通過的概率都是，后兩關每關通過的概率都是．
（1）求該人獲得獎金的概率；
（2）設該人通過的關數為ξ，求隨機變量ξ的分布列及數學期望．

Answer 1

【答案】分析：（1）設A_n（n=1，2，3，4，5）表示該人通過第n關，則該人獲得獎金的概率為P=P（A₁A₂A₃A₄A₅）+P（）+P（），即可求得結論；
（2）確定變量的取值，求出相應的概率，即可求隨機變量ξ的分布列及數學期望．
解答：解：（1）設A_n（n=1，2，3，4，5）表示該人通過第n關，則A_n（n=1，2，3，4，5）相互獨立，且P（A_n）=（n=1，2，3），P（A₄）=P（A₅）=
∴該人獲得獎金的概率為P=P（A₁A₂A₃A₄A₅）+P（）+P（）
=+2×=；
（2）ξ的可能取值為0，1，2，3，4，5，則
P（ξ=0）=；P（ξ=1）==；P（ξ=2）==；P（ξ=3）==；
P（ξ=4）==；P（ξ=5）=，
ξ的分布列為

ξ	0	1	2	3	4	5
P

∴Eξ=1×+2×+3×+4×+5×=．
點評：本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列與數學期望，考查學生的計算能力，屬于中檔題．