Question

已知函數(shù)f(x)=cos2x+2

3

sinxcosx-sin2x．
（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期及單調(diào)增區(qū)間；
（2）在△ABC中，A、B、C所對(duì)的邊分別為a，b，c，若a=

3

，f（A）=1，求b+c的最大值．

Answer 1

分析：（1）將f（x）解析式第一、三項(xiàng)結(jié)合，利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，第二項(xiàng)利用二倍角的正弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)，再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，找出ω的值，代入周期公式即可求出函數(shù)的最小正周期；由正弦函數(shù)的遞增區(qū)間為[2kπ-

π

2

，2kπ+

π

2

]（k∈Z），列出關(guān)于x的不等式，求出不等式的解集即可得到函數(shù)的遞增區(qū)間；
（2）由（1）確定的函數(shù)解析式，及f（A）=1，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，確定出sinA的值，及B+C的度數(shù)，用B表示出C，由a與sinA的值，利用正弦定理表示出b與c，代入b+c中，將表示出的C代入，利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡(jiǎn)，整理后再利用兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由正弦函數(shù)的值域即可求出正弦函數(shù)的最大值，即為b+c的最大值．

解答：解：（1）f（x）=cos²x-sin²x+2

3

sinxcosx=cos2x+

3

sin2x=2sin（2x+

π

6

），
∵ω=2，∴f（x）的最小正周期為T=π，
令2kπ-

π

2

≤2x+

π

6

≤2kπ+

π

2

（k∈Z），解得：kπ-

π

3

≤x≤π+

π

6

，k∈Z，
則f（x）的單調(diào)增區(qū)間為[kπ-

π

3

，π+

π

6

]，k∈Z；
（2）∵f（A）=2sin（2A+

π

6

）=1，∴sin（2A+

π

6

）=

1

2

，
∴2A+

π

6

=

5π

6

，∴A=

π

3

，∴B+C=

2π

3

，
∵a=

3

，sinA=

3

2

，
∴由正弦定理得：

a

sinA

=

b

sinB

=

c

sinC

=

3

3 2

=2，
∴b+c=2（sinB+sinC）=2[sinB+sin（

2π

3

-B）]=2（sinB+

3

2

cosB+

1

2

cosB）
=2

3

（

3

2

sinB+

3

2

cosB）=2

3

sin（B+

π

6

）≤2

3

，
∴當(dāng)B=

π

3

時(shí)，b+c最大為2

3

．

點(diǎn)評(píng)：此題屬于解三角形的題型，涉及的知識(shí)有：正弦定理，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，三角函數(shù)的周期性及其求法，以及正弦函數(shù)的單調(diào)性，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．