Question

一個多面體的直觀圖和三視圖如圖所示，其中M、N分別是AB、AC的中點，G是DF上的一動點．
（Ⅰ）求證：GN⊥AC；
（Ⅱ）當FG=GD時，在棱AD上確定一點P，使得GP∥平面FMC，并給出證明．

Answer 1

【答案】分析：由三視圖可得幾何體為水平放置的直三棱柱，且底面ADF中AD⊥DF，DF=AD=DC=a；（1）連接DB，易證FD⊥AD，FD⊥CD，由線面垂直的判定定理和線面垂直的定義，可得結論；（2）經分析得，當點P與點A重合時，GP∥面FMC，下面根據面面平行的判斷和性質可得結論．
解答：證明：由三視圖可得幾何體為水平放置的直三棱柱，
且底面ADF中AD⊥DF，DF=AD=DC=a
（1）連接DB，可知B、N、D共線，且AC⊥DN，
又FD⊥AD，FD⊥CD，AD∩CD=D，所以FD⊥面ABCD，FD⊥AC
又DN∩FD=D，∴AC⊥面FDN，又GN?面FDN
故可得：GN⊥AC；
（2）當點P與點A重合時，有GP∥面FMC，下面證明：
取DC中點S，連接AS、GS、GA
∵G是DF的中點，∴GS∥FC，AS∥CM，
∴面GSA∥面FMC，GA?面GSA
∴GA∥面FMC，即GP∥面FMC
點評：本題考查直線與平面平行的判定，由題意判斷出該幾何體為直三棱柱以及數量關系是解答本題的關鍵，屬中檔題．