Question

17．雙曲線$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，過焦點(diǎn)且垂直于y軸的弦長為6，
（1）求雙曲線方程；
（2）過雙曲線的下焦點(diǎn)作傾角為45°的直線交曲線與MN，求MN的長．

Answer 1

分析 （1）利用雙曲線$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一條漸近線方程為y=$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，過焦點(diǎn)且垂直于y軸的弦長為6，建立方程，即可求雙曲線方程；
（2）過雙曲線的下焦點(diǎn)作傾角為45°的直線交曲線與MN，聯(lián)立方程，即可求MN的長．

解答 解：（1）由題意，$\frac{a}{b}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，$\frac{2{b}^{2}}{a}$=6，
∴$a=1，b=\sqrt{3}$，
∴雙曲線方程為y²-$\frac{{x}^{2}}{3}$=1；
（2）過雙曲線的下焦點(diǎn)作傾角為45°的直線方程為y=x-2，
代入雙曲線方程可得2x²-12x+9=0
∴|MN|=$\sqrt{2}•\sqrt{36-4×\frac{9}{2}}$=6．

點(diǎn)評(píng) 本題考查雙曲線的方程與性質(zhì)，考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查學(xué)生的計(jì)算能力，屬于中檔題．