Question

如圖，直線 l₁：y=kx+1-k（k≠0，k≠±）與l₂：相交于點P，直線l₁與x軸交于點P₁，過點P₁作x軸的垂線交直線l₂于點Q₁，過點Q₁作y軸的垂線交直線l₁于點P₂，過點P₂作x軸的垂線交直線l₂于點Q₂，…，這樣一直作下去，可得到一系列點P₁、Q₁、P₂、Q₂，…，點P_n（n=1，2，…）的橫坐標構成數列{x_n}。

（1）證明，n∈N*；
（2）求數列{x_n}的通項公式；
（3）比較2|PP_n|²與4k²|PP₁|²+5的大小。

Answer 1

解：（1）設點P_n的坐標是，
由已知條件得點Q_n、P_n+1的坐標分別是：
由P_n+1在直線l₁上，得
所以
即。
（2）由題設知
又由（1）知，
所以數列是首項為公比為的等比數列
從而
即。
（3）由得點P的坐標為（1，1）
所以

（i）當，即或時
>1+9=10
而此時
所以
故
（ii）當，即時，＜1+9=10
而此時
所以
故。