Question

【題目】已知函數.

（1）求函數的極值點；

（2）若恒成立，求的取值范圍；

（3）證明：

Answer 1

【答案】(1) 極大值點，無極小值點(2) (3)證明見解析

【解析】

（1），當時，由，得，則 在上是增函數，在上無極值點．當時，有倒數的符號可得在， 上是增函數，在， 上是減函數，故 時，取得極大值．

（2）由（1）可知只需考慮，即可，化簡得：．

（3）由（2）知，當時，，，則，，將不等式放縮，再利用裂項相消求和即可得證.

（1）的定義域為，

若，則，在單增，所以無極值點；

若，令，得，

當時，，在單增，

當時，，在單減，

所以有極大值點，無極小值點

（2）由（1）知當時，在單增，又，所以不成立；

當時，，

若恒成立，只需，解得，

所以的取值范圍是

（3）證明：由（2）知，當時，，，則

，

，，得證.