Question

將2006表示成5個正整數之和. 記. 問：

（1）     當取何值時，S取到最大值；

（2）     進一步地，對任意有，當取何值時，S取到最小值. 說明理由.

 

 

Answer 1

解析： （1） 首先這樣的S的值是有界集，故必存在最大值與最小值。 若, 且使 取到最大值，則必有

                 (*)

事實上，假設（*）不成立，不妨假設。則令，,()

有，。將S改寫成

同時有 。于是有。這與S在時取到最大值矛盾。所以必有 . 因此當取到最大值。        

（2）當且時，只有

（I）                    402， 402， 402， 400， 400；

（II）                  402， 402， 401， 401， 400；

（III）                402， 401， 401， 401， 401；

 三種情形滿足要求。        

而后面兩種情形是在第一組情形下作，調整下得到的。根據上一小題的證明可以知道，每調整一次，和式 變大。 所以在情形取到最小值。