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 如圖1,在直角梯形中, ,

   把△沿對角線折起后如圖2所示(點記為點), 點在平面上的正投影 落在線段上,  連接.

   (1) 求直線與平面所成的角的大小;

(2) 求二面角的大小的余弦值.

 

 

 

 

 

 

            圖1                                             圖2

 

 

 

 

 

 

 

 

【答案】

 (1) 解:在圖4中,

      ∵

      ∴, .

     ∵,

∴△為等邊三角形.                            

.             …2分

    在圖5中,

    ∵點為點在平面上的正投影,

平面.

平面,

.

,                                               

.

平面, 平面,

平面.

為直線與平面所成的角.    …4分

在Rt△中, ,

.   

,

.

∴直線與平面所成的角為.        …6分           

(2) 解:取的中點, 連接,.

,

.

平面,平面,

.

平面, 平面,

平面.

平面,

.

為二面角的平面角.                                 …8分

在Rt△中,,

,.

在Rt△中,.

在Rt△中,.

∴二面角的大小的余弦值為.                               …12分

方法二:

 解:在圖4中,

      ∵

      ∴, .

     ∵,

∴△為等邊三角形.                            

.             …2分

在圖5中,

 ∵點為點在平面上的射影,                             圖4

平面.

平面,

.

,                                              

.

平面, 平面,

平面.                          …4分

連接,

在Rt△和Rt△中,,

∴Rt△Rt△.

.

.

.

在Rt△中,.

.

在Rt△中,.                             …6分

以點為原點,所在直線為軸,與平行的直線為軸,所在直線為軸,建立空  

間直角坐標系,則,,,,

.

,,,.    

(1)∵,

   ∴.

   ∴ 直線與平面所成的角為.                                    …9分           

(2) 設平面的法向量為n,

   由   得

  令, 得,.

  ∴n為平面的一個法向量.                           

  ∵為平面的一個法向量,

  ∴.

  ∵二面角的平面角為銳角,

  ∴二面角的平面角的余弦值為.            …12分  

 

練習冊系列答案
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科目:高中數學 來源:2013-2014學年山西省高三上學期期中考試理科數學試卷(解析版) 題型:解答題

如圖1,在直角梯形中,. 把沿對角線折起到的位置,如圖2所示,使得點在平面上的正投影恰好落在線段上,連接,點分別為線段的中點.

(1)求證:平面平面

(2)求直線與平面所成角的正弦值;

(3)在棱上是否存在一點,使得到點四點的距離相等?請說明理由.

 

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科目:高中數學 來源:2012-2013學年北京市海淀區高三5月期末練習(二模)理科數學試卷(解析版) 題型:解答題

如圖1,在直角梯形中,

. 把沿對角線折起到的位置,如圖2所示,使得點在平面上的正投影恰好落在線段上,連接,點分別為線段的中點.

(I)求證:平面平面

(II)求直線與平面所成角的正弦值;

(III)在棱上是否存在一點,使得到點四點的距離相等?請說明理由.

 

 

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科目:高中數學 來源:2012-2013學年山東省高三4月模擬理科數學試卷(解析版) 題型:解答題

如圖1, 在直角梯形中, 為線段的中點. 將沿折起,使平面平面,得到幾何體,如圖2所示.

(1)求證:平面

(2)求二面角的余弦值.   

 

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科目:高中數學 來源:2014屆廣東省汕頭市高二下學期期中文科數學試卷(解析版) 題型:解答題

如圖1,在直角梯形中,,且

現以為一邊向形外作正方形,然后沿邊將正方形翻折,使平面與平面垂直,的中點,如圖2.

(1)求證:∥平面

(2)求證:平面

(3)求點到平面的距離.

  

                                    圖

 

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科目:高中數學 來源:2010年天津市天津一中高三下學期第五次月考數學(理) 題型:解答題

如圖1,在直角梯形中, ,
把△沿對角線折起后如圖2所示(點記為點), 點在平面上的正投影 落在線段上, 連接.
(1) 求直線與平面所成的角的大小;
(2)   求二面角的大小的余弦值.

圖1                            圖2

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