Question

已知函數在x=1和處取得極值．
（Ⅰ）求實數a，b的值；
（Ⅱ）若函數f（x）在區間上存在x，使得不等式f（x）-c≤0成立，求實數c的最小值．（參考數據e²≈7.389，e³≈20.08）

Answer 1

【答案】分析：（I）由已知中函數在x=1和處取得極值，我們求出函數的導函數f′（x）的解析式，易得，解方程組，即可得到實數a，b的值；
（Ⅱ）函數f（x）在區間上存在x，使得不等式f（x）-c≤0成立，表示函數f（x）在區間上的最小值小于等于c，根據（1）中函數的解析式，求出函數f（x）在區間上的最小值，即可得到答案．
解答：解：（Ⅰ）函數f（x）定義域為（0，+∞）…（2分）
依題意得，，解得，
故所求a，b的值為…（5分）
（Ⅱ）在上存在x，使不等式f（x）-c≤0成立，只需c≥[f（x）]_min
由（Ⅰ）知
當時，f′（x）＜0，故函數f（x）在上單調遞減，
當時，f′（x）＞0，故函數f（x）在上單調遞增，
當x∈[1，2]時，f′（x）＜0，故函數f（x）在上單調遞減…（7分）
∴是f（x）在上的極小值，且函數f（x）的最小值必是兩者中較小的…（8分）
而，∵e³≈20.08＞16，∴…（9分）∴
所以，實數c的最小值為．…（10分）
點評：本題考查的知識點是函數在某點取得極值的條件，利用導數求閉區間上的函數的最值，其中根據已知中函數在x=1和處取得極值，構造關于a，b的方程，確定出函數f（x）的解析式，是解答本題的關鍵．