Question

【題目】如圖所示，在三棱柱中，為正方形，為菱形，，平面平面.

（1）求證：；

（2）設點、分別是，的中點，試判斷直線與平面的位置關系，并說明理由；

（3）求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2） 平面；（3） .

【解析】

試題分析：（1）由面面垂直的性質可得平面，由此可得，由菱形的性質得，從而可證平面，即可證明結論成立；（2）取的中點，連接、，可證明四邊形為平行四邊形，從而得到平面；（3）建立空間直角坐標系，求平面的一個法向量由（1）知是平面的一個法向量，用空間向量的夾角公式求之即可.

試題解析：（1）連接，在正方形中，，

因為平面平面，平面平面，平面，所以

平面，因為平面，所以.

在菱形中，，因為面，平面，，所以

平面，因為平面，所以.

（2）平面，理由如下：

取的中點，連接、，因為是的中點，所以，且，因為是

的中點，所以.

在正方形中，，所以，且.

∴四邊形為平行四邊形，所以.

因為，，

所以.

（3）在平面內過點作，

由（1）可知：，以點為坐標原點，分別以、所在的直線為、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系，設，則.

在菱形中，，所以，.

設平面的一個法向量為.

因為即，

所以即，

由（1）可知：是平面的一個法向量.

所以，

所以二面角的余弦值為.