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已知復數z滿足|z|=
2
,z2的虛部為2.
(1)求z;
(2)設z、z2、z-z2在復平面對應的點分別為A,B,C,求∠ABC的余弦值.
分析:(1)設z=a+bi,根據復數模的公式和乘法運算法則,得到a2+b2=2且2ab=2,聯解可得a=b=-1或a=b=1,得到z的值;
(2)當z=1+i時,由復數的幾何意義算出A、B、C的坐標,從而算出AB=
2
、AC=2、BC=
10
,利用余弦定理即可算出cos∠ABC=
2
5
5
;當z=-1-i時,用類似的方法可算出cos∠ABC=
8
65
65
解答:解:(1)設z=a+bi(a、b∈R),z2=(a+bi)2=a2-b2+2abi…(1分)
∵|z|=
a2+b2
=
2
,∴a2+b2=2,…①
又∵z2的虛部為2,∴2ab=2…②…(2分)
①②聯解,得a=b=-1或a=b=1…(3分)
∴z=1+i或-1-i…(4分)
(2)(i)當z=1+i時,z2=2i,z-z2=1-i…(5分)
可得A(1,1),B(0,2),C(1,-1).
∴AB=
2
,AC=2,BC=
10

可得cos∠ABC=
2+10-4
2
×
10
=
2
5
5
,…(9分)
(ii)當z=-1-i,z2=2i,z-z2=-1-3i,…(10分)
可得A(-1,-1),B(0,2),C(-1,-3).
∴AB=
10
,AC=2,BC=
26

可得cos∠ABC=
26+10-4
26
×
10
=
8
65
65
…(13分)
點評:本題以復數的運算和復數的幾何意義為載體,求復數z的值并求cos∠ABC的值.著重考查了復數的有關概念、坐標系內兩點間的距離公式和余弦定理等知識,屬于中檔題.
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