Question

某直角走廊的示意圖如圖所示，其兩邊走廊的寬度均為2m．
（1）過點p的一條直線與走廊的外側兩邊交于A，B兩點，且與走廊的一邊的夾角為θ(0＜θ＜

π

2

)，將線段AB的長度l表示為θ的函數；
（2）一根長度為5m的鐵棒能否水平（鐵棒與地面平行）通過該直角走廊？請說明理由（鐵棒的粗細忽略不計）．

Answer 1

分析：（1）根據圖可知l（θ）=BP+AP，而BP=

2

sinθ

，AP=

2

cosθ

代入整理可得函數．
（2）“長度為5m的鐵棒能否水平（鐵棒與地面平行）通過該直角走廊，鐵棒能水平通過該直角直廊”，關鍵看函數l（θ）=的值域，先研究其單調性，用導數法，先求導，令l'（θ）=0得，θ=

π

4

，易知當0＜θ＜

π

4

時，l'（θ）＜0，l（θ）為減函數；當

π

4

＜θ＜

π

2

時，l'（θ）＞0，l（θ）為增函數，可知當θ=

π

4

時，l（θ）有最小值，再與5比較得到結論．

解答：解：（1）根據圖得：l(θ)=BP+AP=

2

sinθ

+

2

cosθ

，θ∈(0，

π

2

)．
（2）鐵棒能水平通過該直角直廊，
理由如下：l′(θ)=(

2

sinθ

)′+(

2

cosθ

)′
=

0•sinθ-2•cosθ

sin2θ

+

0•cosθ+2•sinθ

cos2θ

=

2(sin2θ-cos2θ)

sin2θcos2θ

．
令l'（θ）=0得，θ=

π

4

．
當0＜θ＜

π

4

時，l'（θ）＜0，l（θ）為減函數；
當

π

4

＜θ＜

π

2

時，l'（θ）＞0，l（θ）為增函數；
所以當θ=

π

4

時，l（θ）有最小值4

2

，
因為4

2

＞5，所以鐵棒能水平通過該直角走廊．

點評：本題主要考查函數模型的建立與應用，還考查了三角函數的定義，導數法求函數最值等．