Question

將正方形ABCD沿對角線AC折起，當以A、B、C、D四點為頂點的三棱錐體積最大時，異面直線AD與BC所成的角為

1. A.
   30°
2. B.
   45°
3. C.
   60°
4. D.
   90°

Answer 1

C
分析：將正方形ABCD沿對角線AC折起，可得當三棱錐B-ACD體積最大時，BO⊥平面ADC．設B′是B折疊前的位置，連接B′B，可得
∠BCB′就是直線AD與BC所成角，算出△BB′C的各邊長，得△BB′C是等邊三角形，從而得出直線AD與BC所成角的大小．
解答：設O是正方形對角線AC、BD的交點，將正方形ABCD沿對角線AC折起，
可得當BO⊥平面ADC時，點B到平面ACD的距離等于BO，
而當BO與平面ADC不垂直時，點B到平面ACD的距離為d，且d＜BO
由此可得當三棱錐B-ACD體積最大時，BO⊥平面ADC．
設B'是B折疊前的位置，連接B′B，
∵AD∥B′C，∴∠BCB′就是直線AD與BC所成角
設正方形ABCD的邊長為a
∵BO⊥平面ADC，OB'?平面ACD
∴BO⊥OB'，
∵BO'=BO=AC=a，
∴BB′=BC=B′C=a，得△BB′C是等邊三角形，∠BCB′=60°
所以直線AD與BC所成角為60°
故選C．
點評：本題將正方形折疊，求所得錐體體積最大時異面直線所成的角，著重考查了線面垂直的性質和異面直線所成角求法等知識，屬于中檔題．