Question

已知函數y=x²+(2m+1)x+m²-1(m∈R).

(1)m為何值時,y的極小值是0？

(2)求證：不論m是什么數值,函數的圖象(即拋物線)的頂點都在同一條直線l₁上.

(3)平行于l₁的直線中,哪些與拋物線相交,哪些不相交？求證：任一條平行于l₁而與拋物線相交的直線,被各拋物線截出的線段都相等.

Answer 1

(1)解:用配方法得,

∴y的極小值為.

由,得,即當時,y的極小值是0.

(2)證明:函數圖象拋物線的頂點坐標為,

即(x、y為頂點的兩坐標).

兩式相減得,此即各拋物線頂點坐標所滿足的方程,它的圖形是一條直線.方程中不含m,因此,不論m是什么數值,拋物線的頂點都在這條直線上.

(3)證明:設l:x-y=a為任一條平行于l₁的直線,

由

消去y,得x²+2mx+m²-1+a=0,

即(x+m)²=1-a.

當1-a≥0,即a≤1時,直線l與拋物線相交,而1-a＜0,即a＞1時,直線l與拋物線不相交.

若a≤1,則,

即,.

∴.

直線l被拋物線截得的線段AB的長為

與m無關.

因而直線l被各拋物線截得的線段都相等.