Question

【題目】已知：x、y、z是正實數，且x+2y+3z=1，
（1）求 的最小值；
（2）求證：x2+y2+z2≥ ．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵x、y、x是正實數，且x+2y+3z=1，

∴ =（ ）（x+2y+3z）

=6+ + + + + +

=6+（ + ）+（ + ）+（ + ）

≥6+2 +2 +2

當且僅當 = 且 = 且 = 時取等號；

（2）解：由柯西不等式可得1=（x+2y+3z）2

≤（x2+y2+z2）（12+22+32）=14（x2+y2+z2），

∴x2+y2+z2≥ ，當且僅當x=2y=3z即x= ，y= ，z= 時取等號．

故x2+y2+z2≥ ．

【解析】（1）由題意整體代入可得 =6+（ + ）+（ + ）+（ + ），由基本不等式可得；（2）由柯西不等式可得1=（x+2y+3z）2≤（x2+y2+z2）（12+22+32）=14（x2+y2+z2），由不等式的性質可得．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解基本不等式的相關知識，掌握基本不等式：,（當且僅當時取到等號）；變形公式：．