Question

在圓上任取一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)在軸上的正投影為點(diǎn)．當(dāng)點(diǎn)在圓上運(yùn)動時，動點(diǎn)滿足，動點(diǎn)形成的軌跡為曲線.
（1）求曲線的方程；
（2）已知點(diǎn)，若、是曲線上的兩個動點(diǎn)，且滿足，求的取值范圍.

Answer 1

（1）；（2）.

解析試題分析：（1）解法一是從條件得到點(diǎn)為線段的中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)，從而得到點(diǎn)的坐標(biāo)為，利用點(diǎn)在圓上，其坐標(biāo)滿足圓的方程，代入化簡得到曲線的方程；解法二是利用相關(guān)點(diǎn)法，設(shè)點(diǎn)，點(diǎn)，通過條件確定點(diǎn)與點(diǎn)的坐標(biāo)之間的關(guān)系，并利用點(diǎn)的坐標(biāo)表示點(diǎn)的坐標(biāo)，再借助點(diǎn)在圓上，其坐標(biāo)滿足圓的方程，代入化簡得到曲線的方程；（2）先利用條件將化簡為，并設(shè)點(diǎn)，從而得到的坐標(biāo)表達(dá)式，結(jié)合點(diǎn)，將的代數(shù)式化為以的二次函數(shù)，結(jié)合的取值范圍，求出的取值范圍.
試題解析：（1）解法1：由知點(diǎn)為線段的中點(diǎn).
設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，則點(diǎn)的坐標(biāo)是.
因為點(diǎn)在圓上，所以.
所以曲線的方程為；
解法2：設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)是，點(diǎn)的坐標(biāo)是，
由得，，．
因為點(diǎn)在圓上， 所以．     ①
把，代入方程①，得．
所以曲線的方程為；
（2）解：因為，所以．
所以．
設(shè)點(diǎn)，則，即．
所以，
因為點(diǎn)在曲線上，所以．
所以．
所以的取值范圍為.
考點(diǎn)：1.相關(guān)點(diǎn)法求軌跡方程；2.平面向量的數(shù)量積；3.二次函數(shù)的最值