Question

已知(x²)⁵的展開式中的常數項為T,f(x)是以T為周期的偶函數,且當x∈［0,1］時,f(x)=x,若在區間［-1,3］內,函數g(x)=f(x)-kx-k有4個零點,則實數k的取值范圍是____________.

Answer 1

(0,］  由T_r+1=(x²)^5-r·()^r=(-1)^r·()^r·x^10-5r.

令10-5r=0,即r=2,得T=T₃=2.∴偶函數f(x)的周期為2.

又f(x)=x,x∈［0,1］,∴在x∈［-1,3］內,f(x)的圖象如圖所示:

由f(x)-kx-k=0,得f(x)=k(x+1).函數y=k(x+1)的圖象是過點(-1,0),斜率為k的直線.

若直線過A(3,1),則k=.由圖知,函數g(x)有四個零點時,0＜k≤.