Question

已知△ABC的三邊長(zhǎng)分別為a、b、c，且滿(mǎn)足abc=

（1）是否存在邊長(zhǎng)均為整數(shù)的△ABC？若存在，求出三邊長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由。

（2）若a＞1，b＞1，c＞1，求出△ABC周長(zhǎng)的最小值。

Answer 1

（1）存在三邊長(zhǎng)均為整數(shù)的△ABC，其三邊長(zhǎng)分別為4，5，6或3，7，8，（2）△ABC的周長(zhǎng)最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得此最小值

解析:

（1）不妨設(shè)整數(shù)a≥b≥c，顯然c≥2。

若c≥5，這時(shí)

由，可得

。

矛盾。

故c只可能取2，3，4。

當(dāng)c=2時(shí)，，有

又a≥b≥2，故無(wú)解。

當(dāng)c=3時(shí)，，即

又a≥b≥3，故

或或

解得或或

能構(gòu)成三角形的只有a=8，b=7，c=3。

當(dāng)c=4時(shí)，同理解得a=9，b=4或a=6，b=5。

能構(gòu)成三角形的只有a=6，b=5，c=4。

故存在三邊長(zhǎng)均為整數(shù)的△ABC，其三邊長(zhǎng)分別為4，5，6或3，7，8

（2）由，可得

所以，

又，則有

故△ABC的周長(zhǎng)最小值為，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，取得此最小值。