Question

在如圖所示的多面體中，EF⊥平面AEB，AE⊥EB，AD∥EF，EF∥BC，BC＝2AD＝4，EF＝3，AE＝BE＝2，G是BC的中點．

(1)求證：BD⊥EG；

(2)求平面DEG與平面DEF所成銳二面角的余弦值．

Answer 1

答案：
解析：

　　(1)解法1

　　證明：∵平面，平面，

　　∴，

　　又，平面，

　　∴平面　　2分

　　過作交于，則平面．

　　∵平面，

　　∴　　4分

　　∵，∴四邊形平行四邊形，

　　∴，

　　∴，又，

　　∴四邊形為正方形，

　　∴　　6分

　　又平面，平面，

　　∴⊥平面　　7分

　　∵平面，

　　∴　　8分

　　(2)∵平面，平面

　　∴平面⊥平面

　　由(1)可知

　　∴⊥平面

　　∵平面

　　∴　　9分

　　取的中點，連結，

　　∵四邊形是正方形，

　　∴

　　∵平面，平面

　　∴⊥平面

　　∴⊥

　　∴是二面角的平面角　　12分

　　由計算得

　　∴　　13分

　　∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為　　14分

　　解法2

　　∵平面，平面，平面，

　　∴，，

　　又，

　　∴兩兩垂直　　2分

　　以點E為坐標原點，分別為軸

　　建立如圖所示的空間直角坐標系．

　　由已知得，(0，0，2)，(2，0，0)，

　　(2，4，0)，(0，3，0)，(0，2，2)，

　　(2，2，0)　　4分

　　∴，　　6分

　　∴　　7分

　　∴　　8分

　　(2)由已知得是平面的法向量　　9分

　　設平面的法向量為，

　　∵，

　　∴，即，令，得　　12分

　　設平面與平面所成銳二面角的大小為，

　　則　　13分

　　∴平面與平面所成銳二面角的余弦值為　　14分