Question

 

    頂點在坐標原點，開口向上的拋物線經過點，過點作拋物線的切線交x軸于點B₁，過點B₁作x軸的垂線交拋物線于點A₁，過點A₁作拋物線的切線交x軸于點B₂，…，過點作拋物線的切線交x軸于點．

    （I）求數列{ x_n }，{ y_n}的通項公式；

（II）設，數列{ a_n}的前n項和為T_n．求證：；

（III）設，若對于任意正整數n，不等式…≥成立，求正數a的取值范圍．

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Answer 1

【答案】

 （I）由已知得拋物線方程為．  ………………………………………2分

        則設過點的切線為．

        令，故．

        又，所以，． ……………………………………………4分

（II）由（1）知．

     所以

            ++1+

            ) ．……………………………………………6分

由，，

得．

所以))．…………………………7分

從而

     

      ，

即．…………………………………………………………………9分

（III）由于，故．

       對任意正整數n，不等式成立，

       即恒成立．

      設，………………………………10分

      則．

     故==

             

     所以，故遞增．…………………………………………12分

     則．

     故．…………………………………………………………………14分