Question

設直線系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π），對于下列四個結論：
（1）當直線垂直y軸時，θ=0或π；
（2）當時，直線的傾斜角為120°；
（3）M中所有直線均經過一個定點；
（4）存在定點P不在M中的任意一條直線上．
其中正確的是________（寫出所有正確的代號）

Answer 1

解：直線系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π），即xcosθ+ysinθ-2sinθ-1=0，
（1）當直線垂直y軸時，斜率=0，即cosθ=0，可得 θ=，或 θ=，故（1）不正確．
（2）當時，直線的斜率等于=-，故直線的傾斜角為120°，故（2）正確．
（3）驗證發現，直線系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π）表示圓x²+（y-2）²=1的切線的集合，
不會經過定點，故（3）不正確．
（4）存在定點P不在M中的任一條直線上，觀察知點P（0，2）即符合條件，故（4）正確．
故答案為 （2）（4）．
分析：（1）當直線垂直y軸時，斜率=0，可得θ 的值，從而得到（1）不正確．
（2）當時，求出直線的斜率，從而求出傾斜角為120°，故（2）正確．
（3）驗證發現，直線系M：xcosθ+（y-2）sinθ=1（0≤θ≤2π）表示圓x²+（y-2）²=1的切線的集合，不會經過定點，
可得（3）不正確．
（4）存在定點P（0，2 ）不在M中的任一條直線上，可得（4）正確．
點評：本題考查直線系方程的應用，依據直線系M表示圓 x²+（y-2）²=1 的切線的集合，本題易因為觀察不知直線系所具有的幾何特征而導致后兩個命題的真假無法判斷，對問題進行深入分析是發現其意義的捷徑，屬于中檔題．