Question

在△ABC中，若lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差數列，且三個內角，A，B，C也成等差數列，則三角形的形狀為

等邊三角形

．

Answer 1

分析：由lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差數列得到角A，B，C的三角函數關系，再由A，B，C也成等差數列得到角B等于60°，然后聯立并展開兩角和與差的正弦求解答案．

解答：解：因為lgsinA，lgsinB，lgsinC成等差數列，得
lgsinA+lgsinC=2lgsinB，
即sin²B=sinAsinB①
又三內角A，B，C也成等差數列，所以B=60°．
代入①得sinAsinB=

3

4

②
假設A=60°-α，B=60°+α．
代入②得sin（60°+α）sin（60°-α）=

3

4

．
展開得，

3

4

cos2α-

1

4

sin2α=

3

4

．
即cos²α=1．
所以α=0°．
所以A=B=C=60°．
故答案為等邊三角形．

點評：本題考查了等差數列的性質，考查了三角函數的化簡與求值，訓練了對數的運算性質，是中低檔題．