Question

已知函數f（x）=x-

m

x

-2lnx在定義域是單調函數，f′（x）是函數f（x）的導函數．
（1）求實數m的取值范圍；
（2）當m取得最小值時，數列{a_n}滿足：a₁=m+3，a_n+1=f′（

1

an+1

）-na_n+1，n∈N^*．
試證：
①a_n＞n+2；
②

1

a1+1

+

1

a2+1

+

1

a3+1

+…+

1

an+1

＜

m+1

m+4

．

Answer 1

分析：（1）f′（x）=

x2-2x+m

x2

，f（x）為單調函數，可得導數恒為非負或恒為非正，從而可求實數m的取值范圍；
（2）m=1，可求得a₁=4，由a_n+1=f′（

1

an+1

）-na_n+1，n∈N^*，可求得a_n+1=a_n²-na_n+1，
①用數學歸納法證明，（I）當n=1時，易證，（II）假設當n=k時，不等式成立，即a_k＞k+2，當n=k+1時，去證a_k+1＞（k+1）+2即可；
②由a_n+1=a_n（a_n-n）+1及①，可證得

1

1+ak

＜

1

1+a1

•

1

2k-1

（k≥2），從而可得

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

＜

1

1+a1

•

n

k=2

1

2k-1

＜

2

1+a1

=

2

1+4

=

2

5

．

解答：解：（1）∵f′（x）=

x2-2x+m

x2

，令h（x）=x²-2x+m，△=（-2）²-4m，
當△≤0，即m≥1時，f′（x）≥0恒成立，f（x）單調遞增；
當△＞0，即m＜1時，f′（x）的符號不確定（或大于0，或小于0），f（x）在定義域內不單調，
∴當f（x）單調遞增時，m≥1；當m＜1時，f（x）在定義域內不單調．
∴實數m的取值范圍為[1，+∞）；
（2）∵m≥1，
∴當m取得最小值時m=1，
∴a₁=3+m=4，
又a_n+1=f′（

1

an+1

）-na_n+1，n∈N^*．
∴a_n+1=a_n²-na_n+1①用數學歸納法證明：
①（I）當n=1時，a₁=4＞3=1+2，不等式成立；
（II）假設當n=k時，不等式成立，即a_k＞k+2，那么，
a_k+1=a_k（a_k-k）+1＞（k+2）（k+2-k）+1≥k+3，
也就是說，當n=k+1時，a_k+1＞（k+1）+2，
根據（I）和（II），對于所有n≥1，有a_n≥n+2．
②由a_n+1=a_n（a_n-n）+1及①，對k≥2，有a_k=a_k-1（a_k-1-k+1）+1≥a_k-1（k-1+2-k+1）+1=2a_k-1+1
∴1+a_k≥2（a_k-1+1），由等比數列的通項公式可得：
a_k≥2^k-1（a₁+1）-1，
于是

1

1+ak

＜

1

1+a1

•

1

2k-1

（k≥2），
∴

1

1+a1

+

1

1+a2

+…+

1

1+an

＜

1

1+a1

•

n

k=2

1

2k-1

＜

2

1+a1

=

2

1+4

=

2

5

．

點評：本題考查數列與函數的綜合，通過導數考查數列的關系，突出考查數學歸納法與放縮法的綜合應用，考查分析、轉化與復雜的運算能力，屬于難題．