Question

設(shè)f（x）是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，且滿足f′（x）＜-f（x），對(duì)于任意的正數(shù)a，下面不等式恒成立的是（　　）

• A．f（a）＜e^af（0）
• B．f（a）＞e^af（0）
• C．f(a)＜

  f(0)

  ea

• D．f(a)＞

  f(0)

  ea

Answer 1

分析：根據(jù)選項(xiàng)令g（x）=f（x）e^x，可以對(duì)其進(jìn)行求導(dǎo)，根據(jù)已知條件f′（x）＜-f（x），可以證明g（x）為減函數(shù)，可以推出g（a）＜f（0），在對(duì)選項(xiàng)進(jìn)行判斷；

解答：解：∵f（x）是定義在R上的可導(dǎo)函數(shù)，
∴可以令g（x）=f（x）e^x，
∴g′（x）=[f′（x）+f（x）]e^x，
∵f′（x）＜-f（x），e^x＞0，
∴g′（x）＜0，
∴g（x）為減函數(shù)，
∵正數(shù)a＞0，
∴g（a）＜g（0），
∴f（a）e^a＜f（0），
∴f(a)＜

f(0)

ea

故選：C

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)單調(diào)性，此題要根據(jù)已知選項(xiàng)令特殊函數(shù)，是一道好題；