Question

15．已知橢圓具有性質：若M，N是橢圓C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0且a，b為常數）上關于y軸對稱的兩點，P是橢圓上的左頂點，且直線PM，PN的斜率都存在（記為k_PM，k_PN），則k_PM•k_PN=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$．類比上述性質，可以得到雙曲線的一個性質，并根據這個性質得：若M，N是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上關于y軸對稱的兩點，P是雙曲線C的左頂點，直線PM，PN的斜率都存在（記為k_PM，k_PN），雙曲線的離心率e=$\sqrt{5}$，則k_PM•k_PN等于-4．

Answer 1

分析 設點M的坐標為（m，n），則點N的坐標為（-m，n），且$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}=1$，又設點P的坐標為（-a，0），表示出直線PM和PN的斜率，求得兩直線斜率乘積的表達式即可

解答 解：M，N是雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）上關于y軸對稱的兩點，
P是雙曲線C的左頂點，直線PM，PN的斜率都存在（記為k_PM，k_PN）
設設點M的坐標為（m，n），則點N的坐標為（-m，n），則$\frac{{m}^{2}}{{a}^{2}}-\frac{{n}^{2}}{{b}^{2}}=1$，
即n²=$\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}（{m}^{2}-{a}^{2}）$，又設點P的坐標為（-a，0），
由k_PM=$\frac{n}{m+a}$，k_PN=$\frac{n}{a-m}$，
∴k_PM•k_PN⁼$\frac{{n}^{2}}{{a}^{2}-{m}^{2}}=\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}（{m}^{2}-{a}^{2}）$×$\frac{1}{{a}^{2}-{m}^{2}}=-\frac{{b}^{2}}{{a}^{2}}$=-（e²-1）（常數）．
∴雙曲線的離心率e=$\sqrt{5}$時，則k_PM•k_PN等于-4．
故答案為：-4

點評 本題主要考查了雙曲線的性質，考查了學生綜合分析問題和解決問題的能力，正確運算是關鍵．屬于中檔題．