Question

如圖，矩形ABCD所在平面垂直△ABE所在平面，點O、M分別為AB、EC的中點，AB=2，AD=AE=1，BE=

3

．
（Ⅰ）證明：AE⊥平面CBE；
（Ⅱ）證明：BM∥平面DEO；
（Ⅲ）求直線DE與平面ABCD所成角的正弦值．

Answer 1

分析：（Ⅰ）利用線面垂直的判斷定理，證明AE⊥BC和AE⊥BE．
（Ⅱ）利用線面平行的判定定理，證明BM∥ON，即可．
（Ⅲ）先確定直線DE與平面ABCD所成角，然后計算即可．

解答：解：（Ⅰ）∵平面ABCD⊥平面ABE，AB=平面ABCD∩平面ABE，BC⊥AB
∴BC⊥平面ABE
∵AE?平面ABE∴AE⊥BC…（2分）
∵AB²=2²=4=AE²+BE²=1+3
∴AE⊥BE…（3分）
∵BC∩BE=B，BC，BE?平面CBE
∴AE⊥平面CBE；                                    …（4分）
（Ⅱ）證明：設DE的中點為N，連接MN，ON，在三角形EDC中，
MN為DC的中位線，故MN∥DC，MN=

1

2

DC，…（5分）
∴MN∥AB，MN=

1

2

AB…（6分）
∵O為AB的中點，∴MN∥BO，MN=BO．
∴四邊形MNOB為平行四邊形
∴BM∥ON…（7分）
∵ON?平面DEO，BM?平面DEO
∴BM∥平面DEO；                …（8分）
（Ⅲ）過點E作EF⊥AB于點F，連接DF與BC⊥面ABE同理可得EF⊥平面ABCD．（9分）
∴DF為DE在面ABCD上的射影
∴∠EDF為直線DE與面ABCD所成的角  …（10分）
∴在Rt△EFD中sin∠EDF=

EF

DE

在Rt△DAE中，DE=

DA2+AE2

=

12+12

=

2

…（11分）
在Rt△AEB中，EF=

AE×BE

AB

=

3

2

…（12分）
∴sin∠EDF=

EF

DE

=

3 2

2

=

6

4

∴直線DE與面ABCD所成角的正弦值

6

4

．…（13分）

點評：本題主要考查空間直線和平面平行和垂直的判定，要求熟練掌握相關的判定定理．