Question

【題目】已知數(shù)列前項(xiàng)和為，且.

（1）證明數(shù)列是等比數(shù)列；

（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和.

Answer 1

【答案】（1）數(shù)列是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列. （2）

【解析】試題分析：（1）當(dāng)時(shí)， ，可得以，所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列；（2）由（1）知， ，可得，利用錯(cuò)位相減法可得數(shù)列的前項(xiàng)和.

試題解析：（1）當(dāng)時(shí)， ，所以，

當(dāng)時(shí)， ，

所以，

所以數(shù)列是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列.

（2）由（1）知， ，

所以，

所以 （1）

（2）

（1）-（2）得：

，

所以.

【 方法點(diǎn)睛】本題主要考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式與求和公式以及錯(cuò)位相減法求數(shù)列的的前 項(xiàng)和，屬于中檔題.一般地，如果數(shù)列是等差數(shù)列， 是等比數(shù)列，求數(shù)列的前項(xiàng)和時(shí)，可采用“錯(cuò)位相減法”求和，一般是和式兩邊同乘以等比數(shù)列的公比，然后作差求解, 在寫出“”與“” 的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”以便下一步準(zhǔn)確寫出“”的表達(dá)式.