Question

已知函數f（x）=x³-3x及y=f（x）上一點P（1，-2），過點P作直線l．
（1）求使直線l和y=f（x）相切且以P為切點的直線方程；
（2）求使直線l和y=f（x）相切且切點異于P的直線方程．

Answer 1

【答案】分析：（1）由已知可得斜率函數為f′（x）=3x²-3，進而求出所過點切線的斜率，代入點斜式公式即可．
（2）設另一切點為（x，y），求出該點切線方程，再由條件計算．
解答：解：（1）由f（x）=x³-3x得，f′（x）=3x²-3，
過點P且以P（1，-2）為切點的直線的斜率f′（1）=0，
∴所求直線方程為y=-2．
（2）設過P（1，-2）的直線l與y=f（x）切于另一點（x，y），
則f′（x）=3x²-3．
又直線過（x，y），P（1，-2），
故其斜率可表示為=，
又=3x²-3，
即x³-3x+2=3（x²-1）•（x-1），
解得x=1（舍）或x=-，
故所求直線的斜率為k=3×（-1）=-，
∴y-（-2）=-（x-1），
即9x+4y-1=0．
點評：本題較為簡單，主要考查的是直線的點斜式方程的求解，掌握好這一方法即可．