Question

雙曲線C₁：

x2

a2

-

y2

b2

=1（a＞0，b＞0）的左、右焦點分別為F₁、F₂，拋物線C₂：x²=-2py（p＞0）的焦點為F，C₁與C₂的一個交點為A，知A在x軸上的射影為F₁，且A、F、F₂三點共線，則雙曲線C₁的離心率為

 

．

Answer 1

分析：先求出F₁、F₂，F點的坐標，根據A在x軸上的射影為F₁以及A在拋物線上求出A的坐標；再根據A、F、F₂三點共線，求出c=

2

p；再結合A在雙曲線上以及a²+b²=c²即可求出雙曲線C₁的離心率．

解答：解：由題可設：F₁（-c，0），F₂（c，0），F（0，-

p

2

）．
∵A在x軸上的射影為F₁，
∴A的橫坐標為-c，代入拋物線方程得A（-c，-

c2

2p

）．
∵A、F、F₂三點共線，
∴KAF=KFF2?

c2 2p

- p 2 +c

=

p 2

c

?c=

2

p   ①．
因為A在雙曲線上，所以：

c2

a2

-

(- c2 2p )2

b2

=1     ②
又∵a²+b²=c²  ③
聯立 ①②③解得：c=

2

a．
∴e=

c

a

=

2

．
故答案為：

2

．

點評：本題主要考查圓錐曲線的綜合問題．解決本題的關鍵點在于利用A在x軸上的射影為F₁以及A在拋物線上求出A的坐標；再根據A、F、F₂三點共線，求出c=

2

p．