Question

已知集合的元素全為實數，且滿足：若，則。
（1）若，求出中其它所有元素；
（2）0是不是集合中的元素？請你設計一個實數，再求出中的所有元素？
（3）根據（1）（2），你能得出什么結論。

Answer 1

（1）中元素為（2）（3）A中的元素為4的倍數

本題考查的知識點是元素與集合關系的判斷，其中根據已知中若a∈A，則
∈A，將已知條件代入進行遞推是解答本題的關鍵，在（3）的解答中易忽略使
三式均有意義時，對a的限制，而不能得到滿分．
（1）由已知中若a∈A，則 ∈A，由a=2∈A，可得 ，再由
2∈A，進而得到A中的所有元素；
（2）根據已知中若a∈A，則 ∈A，令0∈A，可得-1∈A，根據此時
中分母為0，式子無意義，即可得到結論；
（3）根據已知中若a∈A，則 ∈A，結合（1）的結論可得 ∈A，而根據（2）的結論，可得要使 三式,均有意義，應有a≠0，a≠±1
解：(1)由，則，又由，得,再由
得，而，得，故中元素為．… 4分
(2) 不是的元素．若，則，而當時，不存在，故0不是的元素．取，可得．……………… 8分
(3) 猜想：①中沒有元素；②已知A中的一個元素可得其余3個，且每兩個互為負倒數．③A中元素個數為4的倍數。………10分
①由上題知：．若，則無解．故……12分
②設，則，
且．
顯然．若，則，得：無實數解．
同理，．
故四個互不相等的數．
故A中的元素為4的倍數……………… 14分