Question

某旅游用品商店經銷某種深圳大運會記念品，每件產品的成本為3元，并且每件產品需向稅務部門上交a元（3≤a≤6）的稅收，預計當每件產品的售價為x元（11≤x≤16）時，一年的銷售量為（18-x）²萬件．
（Ⅰ）求該商店一年的利潤L（萬元）與每件產品的售價x的函數關系式；
（Ⅱ）當每件產品的售價為多少元時，該商店一年的利潤L最大，并求出L的最大值Q（a）．

Answer 1

分析：（1）根據利潤等于銷售量與每件商品的利潤的乘積可得該商店一年的利潤L（萬元）與售價x的函數關系式；
（2）欲求出L的最大值Q（a）．先對函數L（x）求導數，討論a的范圍，利用導數研究原函數的單調性，從而求得原函數的最大值即可解決問題．

解答：解：（Ⅰ）商店一年的利潤L（萬元）與售價x的函數關系式為：L=（x-3-a）（18-x）²，x∈[11，16]．（無定義域扣1分）                                      …（4分）
（Ⅱ）L=（x-3-a）（18-x）²=x（18-x）²-（3+a）（18-x）²L'（x）=（18-x）²-2x（18-x）+2（3+a）（18-x）=（18-x）（24+2a-3x）．
令L'=0得x=8+

2

3

a或x=18（不合題意，舍去）．…（6分）
∵3≤a≤6，∴10≤8+

2

3

a≤12．在x=8+

2

3

a兩側L'（x）的值由正變負．
所以（1）當10≤8+

2

3

a＜11，即3≤a＜

9

2

時，L_max=L（11）=49（8-a）=49（8-a）．
（2）當11≤8+

2

3

a≤12即

9

2

≤a≤6時，Lmax=L(8+

2

3

a)=(8+

2

3

a-3-a)[18-(8+

2

3

a)]2=4(5-

1

3

a)3，
所以Q（a）=

49(8-a)    3≤a≤ 9 2 4(5- 1 3 a ) 3  9 2 ＜a≤6

答：若3≤a＜

9

2

，則當每件售價為11元時，商店一年的利潤L最大，最大值Q（a）=49（8-a）（萬元）；若

9

2

≤a≤6，則當每件售價為(8+

2

3

a)元時，商店一年的利潤L最大，最大值Q(a)=4(5-

1

3

a)3（萬元）．…（14分）

點評：本小題主要考查函數模型的選擇與應用、導數的應用及函數的最值，同時考查了分段函數的應用，屬于中檔題．