Question

【題目】設函數f(x)＝|2x＋3|－|2x－a|，a∈R.

(1)若不等式f(x)≤－5的解集非空，求實數a的取值范圍；

(2)若函數y＝f(x)的圖象關于點對稱，求實數a的值.

Answer 1

【答案】(1)(－∞，－8]∪[2，＋∞).(2)a＝1.

【解析】試題分析：

（1）若不等式的解集非空，得，即可求實數的取值范圍；

（2）若函數的圖象關于點對稱， ，即可求實數的值.

試題解析：

(1)||2x＋3|－|2x－a||≤|2x＋3－2x＋a|＝|3＋a|，

∵不等式f(x)≤－5的解集非空，

∴－|3＋a|≤－5，

∴a≤－8或a≥2.

故實數a的取值范圍是(－∞，－8]∪[2，＋∞).

(2)∵函數y＝f(x)的圖象關于點對稱，

∴f＋f＝0，

∴|2x＋2|－|2x－1－a|＋|－2x＋2|－|－2x－1－a|＝0，

由于對任意x為實數均成立，∴a＝1.