Question

已知a＞0，函數f（x）=ax²+bx+c，若x₀滿足關于x的方程2ax³+bx²+2ax+b=0，則下列選項的命題中為假命題的是（　　）

A．?x∈R，f（x）≤f（x₀）

B．?x∈R，f（x）≥f（x₀）

C．?x∈R，f（x）≤f（x₀）

D．?x∈R，f（x）≥f（x₀）

Answer 1

分析：由x₀滿足關于x的方程2ax³+bx²+2ax+b=0，得出x₀=-

b

2a

．由a＞0可知二次函數有最小值．

解答：解：∵x₀滿足關于x的方程2ax³+bx²+2ax+b=0，
∴2ax₀³+bx₀²+2ax₀+b=0，
∴x02（2ax₀+b）+（2ax₀+b）=0，
∴（x02+1）（2ax₀+b）=0，
∴x₀=-

b

2a

．
∵a＞0，
∴函數f（x）=ax²+bx+c在x=x₀處取到最小值f（-

b

2a

）=f（x₀）
∴?x∈R，f（x）≥f（x₀），
所以命題C錯誤．
故選C．

點評：本題考查二次函數的最值問題，全稱命題和特稱命題真假的判斷，注意對符號?和?的區分和理解．