Question

已知函數．
（Ⅰ）求函數G（x）=h（x）+f（x）的單調區間；
（Ⅱ）當a=2，問是否存在實數t＞0，使得函數F（x）=h（x）-tg（x）+f（x）有兩個相異的零點？若存在，請求出t的取值范圍；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（Ⅰ）分別把f（x）和h（x）的解析式代入G（x）中，求出函數的定義域及G′（x）=0時x的值，令導函數大于0解出x的范圍即為函數的增區間，令導函數小于0求出x的值即為函數的減區間；
（II）先假設存在t符合條件，根據題意求出F（x）的解析式和定義域，再進行求導并對其整理，再由定義域和條件進行轉化：有兩個相異的正實根，利用韋達定理表示出兩根之和、積，并判斷出符號，再對t分類討論進行說明．
解答：解：（Ⅰ）由題意，
∴G（x）的定義域為，
=，
由G^′（x）=0得，，
，∴，
∴，，
由G^′（x）＞0得，或；由G^′（x）＞0得，，且x≠0，
∴G（x）在上是增函數，
在上是減函數；
（Ⅱ）假設存在實數t＞0，使得函數（x＞0）有
相異的零點為x₁，x₂，則x₁＞0，x₂＞0，
∴==，
令y=，
由題意得，F^′（x）=0有兩個相異的正實根，
即有兩個相異的正實根，
∴t≠1，且，
∴當0＜t＜1時，有1-t＞0，則，故舍去；
當t＞1時，有1-t＜0，則，故舍去，

綜上，不存在t＞0滿足條件．
點評：本題考查利用導數研究函數的單調性，考查存在性問題，突出考查構造函數與轉化，分類討論數學思想及綜合分析與運算的能力，屬于難題．