Question

國慶前夕，我國具有自主知識產權的“人甲型H1N1流感病毒核酸檢測試劑盒”（簡稱試劑盒）在上海進行批量生產，這種“試劑盒”不僅成本低操作簡單，而且可以準確診斷出“甲流感”病情，為甲型H1N1流感疫情的防控再添一道安全屏障．某醫院在得到“試劑盒”的第一時間，特別選擇了知道診斷結論的5位發熱病人（其中“甲流感”患者只占少數），對病情做了一次驗證性檢測．已知如果任意抽檢2人，恰有1位是“甲流感”患者的概率為

2

5

．
（I）求出這5位發熱病人中“甲流感”患者的人數；
（II）若用“試劑盒”逐個檢測這5位發熱病人，直到能確定“甲流感”患者為止，設ξ表示檢測次數，求ξ的分布列及數學期望Eξ．

Answer 1

分析：（1）設有x人患“甲流感”，由題意得

C 1 x • C 1 5-x

C 2 5

=

2

5

，由此能求出這5位發熱病人中“甲流感”患者的人數．
（2）由題設知ξ=1，2，3，4，P(ξ=1)=

1

A 1 5

=

1

5

，P(ξ=2)=

A 1 4

A 2 5

=

1

5

，P(ξ=3)=

A 2 4

A 3 5

=

1

5

，P(ξ=4)=

A 3 4 + A 4 4

A 4 5

=

2

5

．由此能求出ξ的分布列和期望．

解答：解：（1）設有x人患“甲流感”，
則由題意有

C 1 x • C 1 5-x

C 2 5

=

2

5

，…（3分）
解得 x=1或x=4（舍）．
∴這5位發熱病人中有1人患“甲流感”．…（5分）
（2）由題設知ξ=1，2，3，4，
則P(ξ=1)=

1

A 1 5

=

1

5

，
P(ξ=2)=

A 1 4

A 2 5

=

1

5

，
P(ξ=3)=

A 2 4

A 3 5

=

1

5

，
P(ξ=4)=

A 3 4 + A 4 4

A 4 5

=

2

5

．
∴ξ的分布列為

ξ	1	2	3	4
P	1 5	1 5	1 5	2 5

…（10分）
∴Eξ=1×

1

5

+2×

1

5

+3×

1

5

+4×

2

5

=2.8．  …（12分）

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，解題時要認真審題，注意挖掘題設中的隱含條件合理地進行等價轉化．