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已知函數f(x)=
mx+n
1+x2
是定義在R上的奇函數,且f(1)=
1
2

(1)求實數m,n的值;
(2)用定義證明f(x)在(-1,1)上是增函數;
(3)試畫出函數 y=f(x)草圖.
分析:(1)利用函數是奇函數,確定n的值,利用f(1)=
1
2
,可求m的值;
(2)設定義域內的自變量x1、x2滿足x1<x2,將相應函數值作差變形得f(x1)-f(x2)=
(x1-x2)(1-x1x2)
(1+x12)(1+x22)
,討論符號得出f(x1)<f(x2),從而得出函數f(x)在(-1,1)上是增函數;
(3)作出函數在(0,+∞)上的圖象,再由函數為奇函數,即可得到函數的草圖.
解答:解:(1)∵函數f(x)=
mx+n
1+x2
是定義在R上的奇函數,
∴對于定義域內的任意實數x,都有f(-x)=-f(x)
-mx+n
1+x2
=-
mx+n
1+x2
,∴-mx+n=-mx-n恒成立,∴n=0
又∵f(1)=
1
2

m×1
1+12
=
1
2
,解得m=1
綜上m=1,n=0;
(2)由(1)知,f(x)=
x
1+x2

任取x1、x2∈(-1,1),且x1<x2,可得
f(x1)-f(x2)=
x1
1+x12
-
x2
1+x22
=
(x1-x2)(1-x1x2)
(1+x12)(1+x22)
,
∵x1、x2∈(-1,1),故1-x1x2>0,1+x12>01+ x22>0
∵x1<x2 故x1-x2<0,
∴f(x1)-f(x2)>0,得f(x1)>f(x2
由此可得函數f(x)在(-1,1)上是增函數;
(3)函數 y=f(x)的草圖,如圖所示:
點評:本題考查函數的解析式的求解,考查函數的單調性,考查恒成立問題,解題的關鍵是確定函數的單調性,屬于中檔題.
練習冊系列答案
相關習題

科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=m•2x+t的圖象經過點A(1,1)、B(2,3)及C(n,Sn),Sn為數列{an}的前n項和,n∈N*
(1)求Sn及an;
(2)若數列{cn}滿足cn=6nan-n,求數列{cn}的前n項和Tn

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=m(x+
1
x
)的圖象與h(x)=(x+
1
x
)+2的圖象關于點A(0,1)對稱.
(1)求m的值;
(2)若g(x)=f(x)+
a
4x
在(0,2]上是減函數,求實數a的取值范圍.

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=
m
n
,其中
m
=(sinωx+cosωx,
3
cosωx)
n
=(cosωx-sinωx,2sinωx),其中ω>0,若f(x)相鄰兩對稱軸間的距離不小于
π
2

(Ⅰ)求ω的取值范圍;
(Ⅱ)在△ABC中,a,b,c分別是角A,B,C的對邊,a=
3
,b+c=3,當ω最大時,f(A)=1,求△ABC的面積.

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科目:高中數學 來源: 題型:

以下兩題任選一題:(若兩題都作,按第一題評分)
(一):在極坐標系中,圓ρ=2cosθ的圓心到直線θ=
π
3
(ρ∈R)的距離
3
2
3
2
;
(二):已知函數f(x)=m-|x-2|,m∈R,當不等式f(x+2)≥0的解集為[-2,2]時,實數m的值為
2
2

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科目:高中數學 來源: 題型:

已知函數f(x)=m-|x-2|,m∈R,且f(x+2)≥0的解集為[-1,1].
(1)求m的值;
(2)若a,b,c∈R+,且
1
a
+
1
2b
+
1
3c
=m,求Z=a+2b+3c的最小值.

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同步練習冊答案
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