Question

已知數(shù)列{a_n}滿足a₁=

1

5

，且當(dāng)n＞1，n∈N^*時(shí)，有a_n-1-a_n-4a_n-1a_n=0，
（1）求證：數(shù)列 { 

1

an

}為等差數(shù)列；
（2）試問a₁a₂是否是數(shù)列 {a_n}中的項(xiàng)？如果是，是第幾項(xiàng)；如果不是，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）當(dāng)n≥2時(shí)a_n-1-a_n-4 a_n-1 a_n=0，兩邊同除以a_n-1 a_n，可得

1

an

-

1

an-1

=4，即

1

an

-

1

an-1

=4，從而可證{

1

an

}是以

1

a1

=5為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列．
（2）由（1）可求數(shù)列的通項(xiàng)公式a_n=

1

4n+1

，從而a₁a₂=

1

5

×

1

9

=

1

45

，進(jìn)而可判斷a₁a₂是數(shù)列{a_n}的第11項(xiàng)．

解答：（1）證明：很顯然，數(shù)列中的各項(xiàng)均不為0
當(dāng)n≥2時(shí)，a_n-1-a_n-4 a_n-1 a_n=0，兩邊同除以a_n-1 a_n
得

1

an

-

1

an-1

=4，即

1

an

-

1

an-1

=4
對(duì)n＞1，n∈N^*成立，
∴{

1

an

}是以

1

a1

=5為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列．
（2）解：由（1）得

1

an

=

1

a1

+（n-1）d=4n+1，
∴a_n=

1

4n+1

，
∴a₁a₂=

1

5

×

1

9

=

1

45

．
設(shè)a₁a₂是數(shù)列{a_n}的第t項(xiàng)，
則

1

4t+1

=

1

45

，
解得t=11∈N^*．
∴a₁a₂是數(shù)列{a_n}的第11項(xiàng)．

點(diǎn)評(píng)：本題考查的重點(diǎn)是等差數(shù)列的判斷，考查等差數(shù)列的通項(xiàng)，解題的關(guān)鍵是將數(shù)列遞推式變形．