Question

設b＞0,橢圓方程為=1,拋物線方程為x²=8(y-b).如圖4所示,過點F(0,b+2)作x軸的平行線,與拋物線在第一象限的交點為G.已知拋物線在點G的切線經過橢圓的右焦點F₁.

圖4

(1)求滿足條件的橢圓方程和拋物線方程.

(2)設A、B分別是橢圓長軸的左、右端點,試探究在拋物線上是否存在點P,使得△ABP為直角三角形?若存在,請指出共有幾個這樣的點?并說明理由(不必具體求出這些點的坐標).

Answer 1

解:(1)由,

易得點G的坐標為(4,b+2),

拋物線在點G處的切線斜率為k=

拋物線在點G處的切線方程為x-4=即y=x+b-2,

又F₁的坐標為(b,0),4b=8(-b),

∴b=1.

橢圓方程為+y²=1,拋物線的方程為x²=8(y-1).

(2)共有四個點.

分別過A、B作x軸的垂線交拋物線于P₁、P₂,

則得到兩個直角三角形△ABP₁、△ABP₂.

以AB為直徑的圓顯然與拋物線有兩個交點P₃、P₄,

則又得到兩個直角三角形△ABP₃、△ABP₄.

因為P₁A與圓相切于點A，而P₃在圓周上，

所以P₃與P₁不重合，同理P₄與P₂不重合.

故P₁、P₂、P₃和P₄是兩兩互不相同的點。