Question

已知數(shù)列

8•1

12•32

，

8•2

32•52

，…，

8•n

(2n-1)2•(2n+1)2

，…，S_n為該數(shù)列的前n項和，
（1）計算S₁，S₂，S₃，S₄，
（2）根據(jù)計算結(jié)果，猜想S_n的表達(dá)式，并用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明．

Answer 1

分析：（1）按照數(shù)列和的定義計算即可
（2）按照數(shù)學(xué)歸納法的證明步驟進(jìn)行證明．

解答：解：（1）S₁=

8•1

12•32

=

8

9

，
S₂=

8

9

+

8•2

32•52

=

24

25

，
S₃=S₂++

8•2

52•72

=

48

49

，
S₄=S₃++

8•3

72•92

=

80

81

．
推測S_n=

(2n+1)2-1

(2n+1)2

（n∈N*）．用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：…（5分）
（1）當(dāng)n=1時，S₁=

(2+1)2-1

(2+1)2

=

8

9

，等式成立
（2）假設(shè)當(dāng)n=k時，等式成立，
即S_k=

(2k+1)2-1

(2k+1)2

，那么當(dāng)n=k+1時，
S_k+1=S_k+

8(k+1)

(2k+1)2(2k+3)2

=

(2k+1)2-1

(2k+1)2

+

8(k+1)

(2k+1)2(2k+3)2

=

[(2k+1)2-1](2k+3)2+8(k+1)

(2k+1)2(2k+3)2

=

(2k+1)2(2k+3)2-(2k+1)2

(2k+1)2(2k+3)2

=

(2k+3)2-1

(2k+3)2

=

[2(k+1)+1]2-1

[2(k+1)+1]2

也就是說，當(dāng)n=k+1時，等式成立．
根據(jù)（1）和（2），可知對一切n∈N*，等式均成立…（10分）

點評：本題主要考查數(shù)學(xué)歸納法的應(yīng)用，用歸納法證明數(shù)學(xué)命題時的基本步驟：（1）檢驗n=1成立（2）假設(shè)n=k時成立，由n=k成立推導(dǎo)n=k+1成立，要注意由歸納假設(shè)到檢驗n=k+1的遞推．