Question

11．已知函數f（x）=x²-2（a-2）x-b²+13．
（1）先后兩次拋擲一枚質地均勻的骰子（骰子六個面上分別標有數字1，2，3，4，5，6），骰子向上的數字一次記為a，b，求方程f（x）=0有兩個不等正根的概率；
（2）如果a∈[2，6]，求函數f（x）在區間[2，3]上是單調函數的概率．

Answer 1

分析 （1）基本事件總數n=6×6=36，設事件A表示“f（x）=x²-2（a-2）x-b²+13=0有兩個不等正根“，利用列舉法求出滿足事件A的基本事件個數，由此能求出方程f（x）=0有兩個不等正根的概率．
（2）設事件B表示“函數f（x）在區間[2，3]上是單調函數”，a∈[2，6]，f（x）=x²-2（a-2）x-b²+13的對稱軸為x=a-2∈[0，4]，f（x）在區間[2，3]上為增函數時，只要對稱軸不在[2，3]上即可，根據幾何概型定義得函數f（x）在區間[2，3]上是單調函數的概率．

解答 解：（1）如果先后拋擲的一枚均勻的骰子所得的向上的點數記為（a，b），
則基本事件總數n=6×6=36，
設事件A表示“f（x）=x²-2（a-2）x-b²+13=0有兩個不等正根“，
則事件A滿足：$\left\{\begin{array}{l}{a-2＞0}\\{13-{b}^{2}＞0}\\{（a-2）^{2}+{b}^{2}-13＞0}\end{array}\right.$，
滿足事件A的基本事件有：（5，3），（6，1），（6，2），（6，3），共有m=4個，
∴方程f（x）=0有兩個不等正根的概率p（A）=$\frac{m}{n}=\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$．
（2）設事件B表示“函數f（x）在區間[2，3]上是單調函數”，
∵a∈[2，6]，f（x）=x²-2（a-2）x-b²+13的對稱軸為x=a-2∈[0，4]，
區間長為4，
f（x）在區間[2，3]上為增函數時，只要對稱軸不在[2，3]上即可，
∴對稱軸不在[2，3]的區間長為3，
根據幾何概型定義得函數f（x）在區間[2，3]上是單調函數的概率P（B）=$\frac{3}{4}$．

點評 本題考查分層抽樣、統計圖的應用，考查概率的求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意列舉法和幾何概型的合理運用．