Question

【題目】四棱錐中，面，底面是菱形，且，，過點作直線，為直線上一動點.

（1）求證：；

（2）當面面時，求三棱錐的體積.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）.

【解析】分析：（1）由平面得，又在菱形中有，故得平面，于是得到．（2）結合題意可得平面，故．根據面面得到，然后根據幾何圖形的計算得到，于是，，又，由此可得所求的三棱錐的體積．

詳解：（1）∵，

∴直線確定一平面.

∵平面，平面，

∴．

由題意知直線在面上的射影為，

又在菱形中有，，

∴平面，

∵平面，

∴.

（2）由題意得和都是以為底的等腰三角形，設和的交點為，

連接、，則，，

又,

∴平面．

又平面面，平面 面，

∴面，

∴.

在菱形中，，，

∴.

在中，．

在中，設，則．

∴在中，，

又在直角梯形中，，

故，

解得，即.

∴，

∴.